https://frosthead.com

Korištenje matematike za izgradnju vrhunskog stroja Taffy

Kad većina od nas vidi mašinu za vuču koja se uvlači kako se penje na turističkom šetalištu, pomislimo na slatki, slatki šećer. Jean-Luc Thiffeault misli na slatku, slatku matematiku. Kao primijenjeni matematičar na Sveučilištu Wisconsin-Madison, Thiffeault je posebno zainteresiran za način na koji se materijali poput taffy-a miješaju: U mašini se bomboni razvlače i presavijaju naprijed i nanovo kako bi ugradili zrak i razvili svoju laganu, žvakaću teksturu. Kako se povlači, izvorni pravokutni pravokutnik rasteže se sve više i više - njegova dužina svaki put raste eksponencijalno za isti omjer. Taj omjer rastezanja ono je što zanima Thiffeaulta.

Povezani sadržaj

  • Otopljena čokolada, 3D tiskane gume i drugi fascinantni patenti za slatkiše

Kad osoba povuče škakljivo, obično će uzeti gomilu slatkiša i razvući je na kuku, spajajući oba kraja. Zatim će uzeti taj presavijeni komad i ponovo ga razvući preko kuke udvostručujući duljinu i tako dalje. Drugim riječima, "ljudski način rada to je faktor množenja 2", kaže Thiffeault. Mehanički uređaji za izvlačenje mogu bolje, često donoseći veće, egzotične iracionalne brojeve kao svoje faktore rastezanja.

Ispada da se prikladno povlačenje može modelirati apstraktnim matematičkim poljem poznatim kao topološka dinamika, u osnovi proučavanje dugoročnih, velikih promjena tijekom vremena u matematičkom prostoru. (Ako riječ topološka zvuči poznato, to je nedavno bilo u vijestima kao dio ovogodišnje Nobelove nagrade za fiziku.) Ista matematika koja opisuje brzo povlačenje također ima ozbiljnije primjene: mnogi industrijski procesi, uključujući puhanje stakla i pripremu lijekova, zahtijevaju viskozne tekućine koje se miješaju na načine koji više nalikuju povlačenju tečnosti nego miješanju kreme u kavu. "Ako pokušavate miješati stvarno viskozne stvari, poput paste za farmaceutsku industriju, ne možete ih jednostavno protresti", kaže Thiffeault. "To nije poput miješanja boja."

Thiffeault je već dugo vremena shvaćao privlačenje vještina kao primjer viskoznog miješanja, ali tek je nedavno zapravo proučio povijest lučnih izvlačenja kako bi otkrio svoje matematičke tajne. Rezultat tog izleta u povijesne patente njegov je nedavni rad „Matematička povijest čvrstih izvlakača“ objavljen na poslužitelju za tisak arXiv u srpnju.

McCarthy1916_device.png Slika iz lakog patentnog patenta iz 1916. godine koji se pojavljuje u Thiffeaultovoj studiji.

Točnije, područje koje je dovelo do njegovog dubokog zarona izvlačenja proučava ono što se naziva pseudo-Anosov preslikavanjem. Pseudo-Anosov je maštovit način opisivanja procesa u kojem se dvodimenzionalni oblik eksponencijalno proteže u jednom smjeru, dok se u drugom smanjuje. Matematički je proučavanje pseudo-Anosovih mapiranja relativno novo. "U 70-im i 80-ima ljudi su se jako trudili pronaći primjere", kaže Thiffeault. Ironično je da su oni cijelo vrijeme bili tu u patentima za neotporne varalice. "Budući da matematičari nikada nisu pogledali ovu literaturu, nikada ne bi znali da postoji", kaže on.

Dok se češljao kroz patente koji su bili lažni, Thiffeault se spotaknuo na pravnu bitku koja je vodila sve do Vrhovnog suda. Raspravljeno u predmetu iz 1921. godine, Hildreth protiv Mastorasa bio je, kako se široko treba tumačiti patent iz 1900. godine za talični proklizavač . To je: je li neki drugi model izradio netko drugi samo manje poboljšanje ili je to bio drugačiji uređaj? Ključni dio argumentacije bio je koliko je patent iz 1900. godine bio različit od prethodnika iz 1893. godine (koji vjerojatno nikada nije proizveden). Mišljenje suda, čiji je autor glavni sudac William Howard Taft, "pokazuje snažno shvaćanje topološke dinamike", piše Thiffeault u svom članku.

Sud je prepoznao da raniji uređaj - koji je imao samo dvije kukice - nije mogao istegnuti taj ten do eksponencijalnog stupnja potrebnog za učinkovito stvaranje konfekcije. Taftino mišljenje kaže:

Sa samo dvije kukice ne bi moglo doći do pucanja slatkiša, jer nije bilo trećeg igle za ponovno aktiviranje bombona dok se držao između druge dvije igle. Kretanje dviju igle u koncentričnim krugovima može ga donekle rastegnuti i pomiješati, ali ne bi ga povuklo u smislu umjetnosti.

Thiffeault piše, "Mišljenje Vrhovnog suda pokazuje temeljni uvid da su za postizanje nekakvog brzog rasta potrebna najmanje tri štapa."

Thiffeault kaže da se danas koriste dva standardna šipka za vuču, jedan s tri štapa i jedan s četiri. Slučajno imaju isti faktor rastezanja. Povezan je s takozvanim omjerom srebra, 1+ √2, odnosno oko 2.414, nešto manje blistavim rođakom poznatijeg zlatnog omjera.

Činjenica da se dva standardna šipka za vuču protežu s omjerom srebra zanimljiva je jer je omjer srebra - u preciznom matematičkom smislu - optimalan. Ipak, Thiffeault upozorava da nije tako lako rangirati različite povlačne varalice čak i kad znate njihove faktore rastezanja: "Ima ga u odnosu na jabuke i naranče koje je prilično teško zaobići", kaže on. Možda bi jedan valjak imao više šipki i trebaće više vremena da se vrati u početno stanje nego drugi, ili bi mogao biti potreban veći okretni moment ili složeniji prijenos. Iako matematika daje određeni uvid u to koliko dobro vuču rukavci, to ne govori u potpunosti.

Thiffeaultovo istraživanje nepokretnih varalica nadahnulo je njega i njegovog dodiplomskog studenta Alexa Flanagana na izgradnju vlastitog modela. Željeli su vidjeti mogu li povećati učinkovitost bez veće promjene zupčanika, i završili su s izradom novog otvarača sa 6 šipki temeljenog na stupnju prijenosa standardnog izvlakača s 4 štapa. "Razlog zašto smo to uspjeli je taj što sada imamo matematiku", kaže Thiffeault. Mogli bi opsežno modelirati stroj na računalu i zaobići mnoštvo pokušaja i pogrešaka s pravim fizičkim uređajima što su ranije izumitelji morali učiniti. Uređaj sa 6 šipki, koji je još uvijek samo prototip, istegne se otprilike dvostruko više od standardnih izvlakača u svakom ciklusu.

Dosad, proizvođači stručnih tovara nisu baš tukli Thiffeaultova vrata kako bi dobili njegov savjet o optimizaciji dizajna - Big Taffy očito je zadovoljan svojim rastezljivim statusom quo - ali nada se da bi njegove metode mogle imati učinka u drugim industrijama. Osim puhanja stakla, jedno logično mjesto za optimizaciju miješanja je i farmaceutska industrija. Napokon, miješanje vitamina i lijekova zahtijeva izuzetno visoku kontrolu kvalitete: Proizvođači su "spremni platiti puno novca za savršeno miješanje", jer "ne mogu podnijeti jedan loš multivitamin od 1000", kaže Thiffeault. Tako će jednog dana farmaceuti možda slatko uzvikivati ​​odane teške prizivače.

Onda bi to moglo biti malo poteškoće.

Korištenje matematike za izgradnju vrhunskog stroja Taffy