20. ožujka američko-kanadski matematičar Robert Langlands dobio je Abelovu nagradu slaveći životno djelo u matematici. Langlandsovo istraživanje pokazalo je kako se pojmovi iz geometrije, algebre i analize mogu povezati zajedničkom vezom s jednostavnim brojevima.
Kada kralj Norveške u svibnju dodijeli nagradu Langlandsima, on će odati počast najnovijim rezultatima u 2300 godina nastojanju da shvati jednostavne brojeve, vjerojatno najveći i najstariji podatak iz matematike. Kao matematičar posvećen ovom programu "Langlands" fasciniran sam poviješću glavnih brojeva i kako nedavni napredak otkriva njihove tajne. Zašto su tisućama godina očarali matematičare?
Da bi proučavali početnike, matematičari probijaju čitave brojeve kroz jednu virtualnu mrežicu za drugom sve dok ne ostanu samo primesi. Ovaj postupak prosijavanja stvorio je tablice s milijunima primjeraka u 1800-ima. Omogućuje današnjim računalima da pronađu milijarde primjeraka u manje od sekunde. Ali osnovna ideja sita nije se promijenila u preko 2000 godina.
"Jednostavni broj je onaj koji se mjeri jedinicom", napisao je matematičar Euclid 300. godine prije Krista. To znači da se prazni brojevi ne mogu ravnomjerno podijeliti s bilo kojim manjim brojem, osim 1. Prema dogovoru, matematičari ne smatraju 1 kao glavni broj. Euklid je dokazao beskonačnost prašuma - oni traju zauvijek - ali povijest sugerira da je Eratosten bio onaj koji nam je pružao sito da brzo popunimo redove.
Evo ideje o sito. Prvo, isfiltrirajte višestruke 2, zatim 3, zatim 5, zatim 7 - prva četiri početna sloja. Ako to učinite sa svim brojevima od 2 do 100, ostat će samo glavni brojevi.
Prosijavanje višestrukih 2, 3, 5 i 7 ostavlja samo početne slojeve između 1 i 100. (Ljubaznošću MH Weissmana) Pomoću osam koraka filtriranja možete izolirati temeljne premaze do 400. Pomoću 168 koraka filtriranja možete izolirati temeljne premaze do milijun. To je snaga sita Eratostena.
**********
John Pell, engleski matematičar, koji se posvetio izradi tablica korisnih brojeva. Motiviran je za rješavanje drevnih aritmetičkih problema Diofanta, ali i osobnim traženjem organiziranja matematičkih istina. Zahvaljujući njegovim naporima, početkom 1700-ih široko su cirkulirali primi do 100 000. Do 1800. godine, neovisni su projekti sakupili primanja do milijun.
Da bi automatizirao zamorne korake prosijanja, njemački matematičar Carl Friedrich Hindenburg koristio je podesive klizače kako bi isticao višestruko na cijeloj stranici stola odjednom. Još jedan niskotehnološki, ali učinkovit pristup upotrijebio je šablone za pronalaženje višestrukih. Sredinom 1800-ih, matematičar Jakob Kulik krenuo je u ambiciozni projekt kako bi pronašao sve početnike do 100 milijuna.
Šablon koji Kulik koristi za prosijavanje višekratnika 37. AÖAW, Nachlass Kulik ((ljubaznošću Denisa Roegela, autor dostavljen) Ovi "veliki podaci" iz 1800-ih mogli su poslužiti samo kao referentna tablica, ako Carl Friedrich Gauss nije odlučio analizirati početnike radi sebe. Naoružan popisom do 3 milijuna primjeraka, Gauss je istovremeno počeo brojati, jednu „čiliadu“, ili skupinu od 1.000 jedinica. Brojio je primes do 1.000, zatim primes između 1.000 i 2.000, zatim između 2.000 i 3.000 i tako dalje.
Gauss je otkrio da, kako je računao više, primije postupno postaju rjeđe prema zakonu "obrnutog dnevnika". Gaussov zakon ne pokazuje točno koliko ima, ali daje prilično dobru procjenu. Na primjer, njegov zakon predviđa 72 početne vrijednosti između 1.000.000 i 1.001.000. Ispravno brojanje je 75 primesa, oko 4 posto pogreške.
Stoljeće nakon Gaussovih prvih istraživanja, njegov zakon dokazan je "teoremom pravog broja." Procentualna pogreška približava se nuli na većim i većim rasponima prašuma. Riemannova hipoteza, problem s nagradama od milijun dolara, također opisuje koliko je zapravo precizna Gaussova procjena.
Teorem o primarnom broju i Riemannova hipoteza dobivaju pažnju i novac, ali obje su pratile ranije, manje glamurozne analize podataka.
.....
Danas naši setovi podataka dolaze iz računalnih programa, a ne ručno izrezanih šablona, ali matematičari i dalje pronalaze nove obrasce u prilozima.
Osim 2 i 5, svi primarni brojevi završavaju se s brojem 1, 3, 7 ili 9. U 1800-ima dokazano je da su ove moguće posljednje znamenke podjednako česte. Drugim riječima, ako pogledate početne slojeve do milijun, oko 25 posto završi u 1, 25 posto u 3, 25 posto u 7, a 25 posto u 9.
Prije nekoliko godina, teoretičari brojeva Stanforda Lemke Oliver i Kannan Soundararajan quirke su uhvaćeni u stražnjici na posljednjim znamenkama. Eksperiment je gledao zadnju znamenku najboljeg broja, kao i zadnju znamenku prvog sljedećeg premije. Na primjer, sljedeća premijera nakon 23 je 29: Jedan vidi 3, a zatim 9 u svojim posljednjim znamenkama. Da li se među zadnjim znamenkama početnih primjera vidi 3, a 9 češće od 3 nego 7?
Učestalost jednoznamenkavih parova, među uzastopnim primarnim brojevima do 100 milijuna. Odgovarajuće boje odgovaraju prazninama. (MH Weissman, CC BY) Teoretičari broja očekivali su neke varijacije, ali ono što su otkrili daleko je premašilo očekivanja. Primeri su razdvojeni različitim prazninama; na primjer, 23 je šest brojeva udaljen od 29. Ali 3-a-9 primesi poput 23 i 29 daleko su češći od 7-the-3 primes, iako oba dolaze iz razlike od šest.
Matematičari su ubrzo pronašli uvjerljivo objašnjenje. Ali, kad je u pitanju istraživanje sukcesivnih priloga, matematičari su (uglavnom) ograničeni na analizu podataka i uvjeravanje. Dokazi - zlatni standard matematičara za objašnjenje zašto su stvari istinite - izgledaju desetljećima daleko.
Ovaj je članak prvotno objavljen u časopisu The Conversation.
Martin H. Weissman, izvanredni profesor matematike, Sveučilište u Kaliforniji, Santa Cruz
