Najvjerojatnije ste stotine puta u svakodnevnom životu naišli na jednostrane predmete - poput univerzalnog simbola za recikliranje, koji je otisnut na poleđini aluminijskih limenki i plastičnih boca.
Ovaj se matematički objekt naziva Mobiusova traka. Fascinirao je ekologe, umjetnike, inženjere, matematičare i mnoge druge još od svog otkrića 1858. godine August Möbius, njemački matematičar, koji je umro prije 150 godina, 26. rujna 1868. godine.
Möbius je otkrio jednostranu traku 1858. godine dok je bio predsjedatelj astronomije i više mehanike na Sveučilištu u Leipzigu. (Drugi matematičar s imenom listinga zapravo ga je opisao nekoliko mjeseci ranije, ali njegov rad nije objavio do 1861.) Čini se da je Möbius naišao na Möbiusov pojas dok je radio na geometrijskoj teoriji poliedra, čvrstim figurama sastavljenim od vrhova, rubova i ravna lica,
Möbiusova traka može se stvoriti tako što ćete uzeti papirnu vrpcu, dati joj neparni broj polukrugova, a zatim krajeve povezati natrag zajedno u obliku petlje. Ako uzmete olovku i povučete liniju duž središta pruge, vidjet ćete da linija očito vodi duž obje strane petlje.
Koncept jednostranog objekta nadahnuo je umjetnike poput nizozemskog grafičkog dizajnera MC Eschera, čiji drvorez "Möbius Strip II" prikazuje crvene mrave koji puze jedan za drugim duž Möbiusove pruge.
Traka Möbius ima više nego samo jedno iznenađujuće svojstvo. Na primjer, pokušajte uzeti škare i prerezati traku na pola duž crte koju ste upravo nacrtali. Možda ćete biti zaprepašteni kada otkrijete da nemate dvije jednostrane Möbiusove trake, već umjesto jedne duge dvostrane petlje. Ako nemate komadić papira, Escherova šuma "Möbius Strip I" pokazuje što se događa kada se Möbiusova traka preseče duž njegove središnje linije.
Iako strip sigurno ima vizualnu privlačnost, njegov najveći utjecaj bio je u matematici, gdje je pomogao potaknuti razvoj cijelog područja zvanog topologija.
Topolog proučava svojstva predmeta koji se čuvaju prilikom pomicanja, savijanja, rastezanja ili uvijanja bez rezanja ili lijepljenja dijelova. Primjerice, zapetljani par ušnih listova u topološkom je smislu isti kao i neupravljeni par ušnih listova jer mijenjanje jedne u drugu zahtijeva samo pomicanje, savijanje i uvijanje. Za preoblikovanje između njih nije potrebno rezanje ili lijepljenje.
Drugi par predmeta koji su topološki isti su šalica za kavu i krafna. Budući da oba predmeta imaju samo jednu rupu, jedan se može deformirati u drugi samo istezanjem i savijanjem.
Šalica se pretvori u krafnu. (Wikimedia Commons) Broj rupa u objektu svojstvo je koje se može mijenjati samo rezanjem ili lijepljenjem. Ovo svojstvo - nazvano "rod" predmeta - omogućava nam da kažemo da su par ušnih ušiju i krafna topološki različiti, jer krafna ima jednu rupu, dok par ušiju nema rupa.
Nažalost, Möbiusova traka i dvostrana petlja, poput tipičnog silikonskog narukvica za svijest, izgleda da obojica imaju jednu rupu, pa je ovo svojstvo nedovoljno za razdvajanje - barem s gledišta topologa.
Umjesto toga, svojstvo koje razlikuje Möbiusovu traku od dvostrane petlje naziva se orijentabilnošću. Poput broja rupa, orijentacija predmeta može se mijenjati samo rezanjem ili lijepljenjem.
Zamislite da sami napišete bilješku na prozirnu površinu, a zatim se prošetate tom površinom. Površina je orijentabilna ako, kad se vratite iz šetnje, uvijek možete pročitati bilješku. Na neosjetljivoj površini možete se vratiti iz svog hoda samo kako biste otkrili da su se riječi koje ste napisali očito pretvorile u njihovu zrcalnu sliku i da se mogu čitati samo s desna na lijevo. Na dvostranoj petlji bilješka će se uvijek čitati s lijeva na desno, bez obzira kuda vas put odveo.
Budući da se Möbiusova traka ne može orijentirati, dok je dvostrana petlja orijentabilna, to znači da su traka Möbius i dvostrana petlja topološki različiti.
(Stvorio David Gunderman) Kad se pokrene GIF, točke navedene u smjeru kazaljke na satu su crne, plave i crvene boje. Međutim, konfiguraciju s tri točke oko Möbiusove pruge možemo pomaknuti tako da se lik nalazi na istom mjestu, ali boje točaka navedene u smjeru kazaljke na satu sada su crvena, plava i crna. Konfiguracija se nekako uklopila u njegovu zrcalnu sliku, ali sve što smo učinili je da je premjestimo po površini. Ta je transformacija nemoguća na orijentacijskoj površini poput dvostrane petlje.
Koncept orijentabilnosti ima važne implikacije. Uzmi enantiomere. Ovi kemijski spojevi imaju iste kemijske strukture, osim jedne ključne razlike: To su zrcalne slike jedna drugu. Na primjer, kemijski L-metamfetamin sastojak je Vicks inhalatora isparavanja. Njegova zrcalna slika, D-metamfetamin, je ilegalna droga klase A. Da smo živjeli u svijetu koji se ne može orientirati, ove kemikalije bile bi nerazdvojne.
Otkriće August Möbius otvorilo je nove načine proučavanja prirodnog svijeta. Proučavanje topologije i dalje daje zapanjujuće rezultate. Na primjer, prošle godine topologija je navela znanstvenike da otkriju čudna nova stanja materije. Ovogodišnja medalja Fields, najveća čast u matematici, dodijeljena je Akshayu Venkateshu, matematičaru koji je pomogao integrirati topologiju s drugim poljima kao što je teorija brojeva.
Ovaj je članak prvotno objavljen u časopisu The Conversation.
David Gunderman, dr. Sc. student primijenjene matematike na Sveučilištu u Coloradu i Richard Gunderman, kancelarki profesor medicine, liberalne umjetnosti i filantropije, Sveučilište Indiana
